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  - 沪教版教参选择性必修第一册·第1章
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  - 数学/教参
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source: 沪教版教参选择性必修第一册.md（原文件第 229–1048 行）
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# 第 1 章 平面直角坐标系中的直线

> 拆分自 [[沪教版教参选择性必修第一册]] · **第 1 章 平面直角坐标系中的直线**（原文件第 229–1048 行）。
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## 一、本章概述

### 总体要求

在本章和下一章中我们将学习平面解析几何的初步知识与方法. 平面解析几何的思想是通过建立适当的平面坐标系, 用方程表示曲线, 通过研究方程的特点来研究曲线的特征, 从而用代数的观点与方法解决几何问题.

通过初中阶段的平面几何课程, 学生学习了直线, 知道两点可以确定一条直线, 知道两条直线的相交、平行与垂直的几何特征, 知道可以通过两条相交直线的夹角确定其相对位置; 在 “图形与坐标” 中, 学生学习了平面直角坐标系, 知道平面直角坐标系可以确定平面上图形的位置, 初步体会了通过坐标讨论平面图形的运动与对称问题; 在初中代数中, 学生学习了一次函数, 知道一次函数的图像是直线, 可以通过直线的倾斜方向判断一次函数的单调性, 体验了“由数到形”再“由形到数”的数形结合过程.

本章将从代数的角度研究直线. 在平面直角坐标系中认识直线的几何特征并掌握倾斜角和斜率的概念; 学习直线不同形式的方程, 学会根据实际需要选择不同形式的直线方程来解决问题; 学习并掌握利用直线方程来判定两条直线位置关系的方法, 学习如何根据直线方程求两条直线的夹角并掌握夹角的余弦公式; 学习如何根据点的坐标和直线方程求点到直线的距离, 掌握点到直线的距离公式及两条平行线之间的距离公式等.

通过方程来研究曲线的性质, 是平面解析几何的特点与优点. 曲线方程概念的建立是结合本章与下一章的内容逐步完成的. 本章学习建立直线与二元一次方程的联系, 并藉以体会曲线方程的基本思想和验证曲线方程的基本步骤.

通过本章的学习,可以帮助学生体验在平面直角坐标系中,如何用代数的方法研究几何问题, 感悟其中蕴含的丰富的数学思想, 促进学生直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象和数学建模等数学学科核心素养的发展.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 9+1 ,共计 10 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td>1.1 直线的倾斜角与斜率</td><td>1</td><td/></tr><tr><td rowspan="2">1.2 直线的方程</td><td rowspan="2">4</td><td>几种特殊形式的直线方程 2 课时</td></tr><tr><td>直线的一般式方程 2 课时</td></tr><tr><td rowspan="2">1.3 两条直线的位置关系</td><td rowspan="2">3</td><td>两条直线的相交、平行与重合 1 课时</td></tr><tr><td>两条直线垂直的判定与夹角的求法 2 课时</td></tr><tr><td>1.4 点到直线的距离</td><td>1</td><td/></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

本章内容共分为四节, 分别是 1.1 直线的倾斜角与斜率, 1.2 直线的方程, 1.3 两条直线的位置关系, 1.4 点到直线的距离.

“1.1 直线的倾斜角与斜率” 主要介绍在平面直角坐标系中与直线相关的两个量——倾斜角与斜率, 为直线方程的引入作准备. 倾斜角是个几何量, 是直接表示直线相对于 $x$ 轴的“倾斜程度”的角. 而与倾斜角直接联系的另一个量是直线的斜率,它定义为倾斜角的正切. 经过正切函数的转化, 量的属性发生了根本的变化, 斜率是直线上点的坐标的简单的代数式, 也在直线方程的系数中有直接的表达. 从这个角度看, 斜率与其说是一个几何量, 不如说是一个代数量. 解析几何部分的第一节课就充分体现了解析几何最重要的特征:把几何量与代数量联系起来,为用代数的观点解决几何问题作准备.

“1.2 直线的方程”主要介绍三种不同形式的直线方程: 点斜式方程、两点式方程与一般式方程. 作为点斜式方程的特例, 教材还介绍了直线的斜截式方程; 在直线的一般式方程的学习中, 引入了直线的法向量概念, 并在此基础上介绍了直线的点法式方程.

平面解析几何是要通过研究曲线的方程 (代数对象) 来研究平面上的曲线 (几何对象), 因此平面解析几何理论赖以建立的支柱是曲线方程的概念. 从严密的逻辑角度, 这个概念应该一开始就给出, 这样才能顺理成章地讨论直线的方程、圆锥曲线的方程等. 但一般性的曲线方程的定义是高度抽象的, 在学生对曲线还没有感性认识和知识储备的情况下, 定义一般意义的曲线方程会让学生无所适从. 本册教材采用的策略是把难点分散, 为学生搭建层层递进的理解台阶. 本章只出现 “直线的方程”的概念, 分两个台阶实现,并且没有严格地使用“定义”的形式给出:第一台阶是一个有具体数字的例子, 其伏笔在 1.1 节的例 3 中, 准确的描述在 1.2 节的第 1 小节的引言部分: 从 “与点 $A\left( {-1,2}\right) \text{、}B\left( {3,4}\right)$ 共线的点 $C\left( {x, y}\right)$ 的坐标一定满足关系式 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ ”和 “如果点 $C\left( {x, y}\right)$ 的坐标满足关系式 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ ,那么点 $C\left( {x, y}\right)$ 一定与点 $A\left( {-1,2}\right) \text{、}B\left( {3,4}\right)$ 共线”,推出“经过点 $A\left( {-1,2}\right) \text{、}B\left( {3,4}\right)$ 的直线 ${AB}$ 上的点正好是以方程 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ 的解作为坐标的点”,于是给出了“直线 ${AB}$ 的方程是 $y - 2 = \; \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ ”与“方程 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ 表示了直线 ${AB}$ ”的精确含义.

第二台阶是把具体数字变成字母, 从推导点斜式方程入手, 从“直线上的点的坐标都满足方程”和“满足方程的点都在直线上”两个方向建立起直线方程的概念. 两点式方程是点斜式方程的等价变形, 其引入没有纠缠于两个方向的论证. 一般式方程的引入在逻辑上有点不同:先说明所得到的特殊形式的直线方程都可以等价变形为一般式方程, 再说明一般式方程都是特殊形式变形而成. 最后, 在点法式方程的说明中把上述两个方向论证改写成充要条件, 学生应该不会有大的障碍.

曲线方程的进一步学习在下一章继续展开.

“1.3 两条直线的位置关系”学习用直线的方程判断两条直线的位置关系,从直线的方程出发, 结合直线的几何特征, 判断两条直线是否平行、重合或相交, 判定两条直线是否垂直, 求两条相交直线的夹角. 在内容的编排上, 首先学习的是根据方程判断两条直线常见的位置关系: 相交、平行与重合; 接着研究其中的相交关系, 由特殊的垂直关系的判定到一般情况下的夹角的求法. 展现了由一般到特殊再到一般的认知顺序. 通过这些知识的学习, 引导学生体验如何通过代数的方法解决几何问题, 提高数学运算的能力. 这里对代数方法的理解, 可以从研究直线方程的解的特点出发, 也可以从方程得到直线的几何特征出发来解决与直线有关的问题.

“1.4 点到直线的距离”学习如何求点到直线的距离, 需要掌握点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式. 本节首先探索如何根据点的坐标和直线方程求点到直线之间的距离,经过分析和比较,发现从法向量的角度推导点到直线的距离公式最为简便, 这是对“二期课改”教材的继承. 在掌握了点到直线的距离公式后, 作为该公式的应用和巩固,推导得到两条平行线之间的距离公式. 考虑到课程标准的要求,本节没有安排点到直线的有向距离的内容, 这是有别于 “二期课改” 教材的地方.

总之, 本章以 “如何用代数的方法研究几何问题”为主线, 以学生熟悉的几何知识一 直线 一为载体, 引导学生学习和体验如何用代数的方法表示直线, 如何用直线的方程分析和解决与直线有关的问题. 在掌握直线的知识和方法的基础上, 帮助学生初步学习解析几何的方法, 进一步体验数形结合的思想.

### 教学提示

在本章的教学中,应引导学生重视从 “方程” 的角度研究 “直线” 的过程,强调平面直角坐标系在这个过程中的基础作用. 为了减轻学生学习的难度, 平面直角坐标系通常是给定的, 我们更关注的是在平面直角坐标系中, 如何根据给定条件确定直线的方程, 学会用 “数” 的知识解决 “形” 的问题.

作为平面几何内容的直线,学生有很好的认知基础,所以学习新知识时可以从学生已知的几何基础出发, 思考在平面直角坐标系中如何用 “数”表示. 例如, 平面几何中两点确定一条直线,那么在平面直角坐标系中两点的坐标就确定了经过这两点的直线的位置. 在平面直角坐标系中一点和倾斜角可以确定直线的位置,其中点可以用坐标表示,倾斜角如何用坐标表示呢? 这就有了斜率的定义. 这些知识的生成是理性思维的结果, 适当的数学情境也是创设问题情境的一种方式.

对直线的方程概念的认识是一个渐进的过程, 本章虽然没有明确给出曲线的方程的定义, 但是在求直线的点斜式方程、点法式方程时, 都在渗透两个要点: 一是直线上任意一点的坐标都满足方程, 二是以方程的解为坐标的点一定在直线上. 两个要点不断再现, 促进理解, 为第 2 章进一步学习和理解 “曲线的方程”打下基础.

在本章的教学过程中, 既要突出直线的方程的代数作用, 如通过研究方程的解来判断一个点是否在一条直线上, 判断两条直线是否相交、平行或重合; 也要挖掘直线的方程中蕴含的几何特征,如直线的倾斜角、法向量,为判断两条直线的位置关系、 求点到直线的距离等问题拓展思路.

信息技术的应用会给教学带来方便, 促进学生理解有关的知识. 教学中, 可以适当应用教学软件,动态地展现一些过程,降低抽象思维的难度. 例如,直线的倾斜程度如何随斜率的变化而变化; 直线的位置如何随着一些参数的变化而变化.

作为解析几何的起始章节,在教学中可适当穿插一些数学史的知识,组织学生收集、阅读解析几何的形成和发展的历史资料(例如,参考文献[3][4][5]的有关章节), 撰写小论文,论述解析几何发展的过程、重要结果、主要任务、关键事件及其对人类文明的贡献,彰显数学的人文价值.

### 评价建议

本章的教学可以从以下几个角度进行评价:

关注学生是否能体会和理解解析几何的基本思想,体会坐标系在建立几何对象与代数描述之间重要的桥梁作用, 理解直线方程概念在联系直线的几何理论与方程的代数性质之间的作用.

关注学生对本章引入的基本概念的掌握和理解. 例如, 理解倾斜角、斜率及其在表达直线的几何性质方面的意义, 理解直线的方程的概念, 理解从正反两个方面论证一个方程是给定直线的方程的必要性, 熟悉直线的不同形式方程之间的关系, 熟练进行直线不同形式方程的转换.

关注学生是否在学习知识的过程中经历和体验了知识的发生发展过程. 例如, 直线的倾斜角是怎么来的？为什么有了倾斜角还需要定义斜率？直线和二元一次方程有什么关系? 直线法向量的几何意义和代数刻画.

关注学生是否掌握了本章的基本方法,能否用二元一次方程或二元一次方程组的方法解决直线或直线间关系的几何问题. 例如, 根据方程判定两条直线的位置关系的方法, 通过解方程组求两条直线的交点坐标, 根据直线方程求两条直线的夹角及求点到直线的距离等.

关注学生在思考和解决直线问题时的思维过程. 例如, 能否根据问题情境合理选择直线的方程形式, 能否多角度思考判定两条直线的位置关系的方法, 能否结合图形思考两条直线的法向量的夹角与直线夹角的关系, 能否用多种方法求点到直线的距离等.

本章教学的一个关键的评价指标是学生是否初步掌握了用二元一次方程或方程组解决与直线有关的几何问题, 了解解析几何的基本特点. 当然, 在评价过程中要充分注意到这是解析几何的起始阶段, 对直线和方程的关系的认识是一个逐步加深的过程, 对解析几何的思想和方法是一个学习和体验的过程, 不宜在开始阶段操之过急.

本章涉及较多的符号运算与数形结合过程, 可以重点发展与评价学生在数学运算和直观想象方面的数学学科核心素养.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 1.1 直线的倾斜角与斜率

### 教学重点

掌握直线的倾斜角和斜率的概念及其相互联系, 理解倾斜角 (或斜率) 在决定直线与平面直角坐标系的相对位置关系中的重要作用, 熟悉用直线上两点的坐标表示直线斜率的公式, 初步体会用代数工具表达几何图形的思想.

### 内容分析

“两点确定一条直线”,这是数学中的常识了. 在建立了平面直角坐标系的平面上, 当然两点还是确定一条直线, 但和平面几何不一样的是, 两点不仅仅是作业纸上点出的两个点, 它们所决定的直线也不仅仅是用直尺把两点连接起来的线. 现在所谈的点, 要给出点的坐标; 所谈的直线, 要写出直线的方程.

下一节我们将准确地给出 “两点确定一条直线” 的解析几何描述——直线的两点式方程. 在两点式方程推导过程中, 跟直线有关的一个代数量 “斜率” 起了很大的作用, 而与这个代数量直接联系的几何量是直线的“倾斜角”. 因此, 作为 “1.2 直线的方程” 的前导, 本节先介绍直线的倾斜角与斜率.

我们都在给定的平面直角坐标系中讨论问题.

直线的倾斜角是个几何量,是直接表示直线相对于 $x$ 轴的“倾斜程度”的角. 精确地说,直线 $l$ 的倾斜角 $\theta$ 是 $x$ 轴绕直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点沿逆时针方向旋转到与 $l$ 的重合位置所转过的最小正角. 如果直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合,定义 $\theta  = 0$ . 这样, $0 \leq  \theta  < \pi$ .

与倾斜角直接联系的是直线的斜率 $k = \tan \theta$ (当 $\theta  = \frac{\pi }{2}$ 时,斜率不存在). 经过正切函数的转化,量的属性发生了根本的变化: $k$ 是直线 $l$ 上点的坐标的简单代数式一经过两点 $A\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{、}B\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \left( {{x}_{1} \neq  {x}_{2}}\right)$ 的直线 $l$ 的斜率是

$$
k = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}.
$$

倾斜角(或斜率)的重要意义在于,给了直线的倾斜角(或斜率),直线的方向就完全确定了. 这句话的准确含义是, 所有具有这个倾斜角(或斜率)的直线都平行. 这个结论的依据是 “两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等, 那么这两条直线平行”. 于是, 如果还知道直线上的一点, 这条直线就完全确定了, 根据是 “经过直线外的一点, 有且只有一条直线与已知直线平行”, 即著名的欧几里得第五公设 (的等价命题).

下一节一开始我们将讨论如何把第五公设所说的这条直线从解析几何的角度给确定出来, 也就是说, 如果给定已知直线的斜率和直线上一点, 我们要求出这个唯一存在的直线的方程. 本节的例 3 是解决这个问题的先导.

本节有 3 道例题.

例 1 是对经过两点的直线的斜率公式的简单应用, 并巩固倾斜角与斜率的关系, 教学时需要提醒学生注意斜率公式中两个坐标的顺序, 可通过变式说明斜率符号变化对直线“倾斜方向”的影响.

例 2 是与已学知识的联系. 初中阶段学生已经知道了一次函数 $y = {kx} + b\left( {k \neq  0}\right)$ 的图像是直线,并把其中的 $k$ 称为斜率. 本例验证了初中就一次函数所定义的 “斜率” 确实是现在一般意义下的 “斜率”,解释了一次函数 $y = {kx} + b\left( {k \neq  0}\right)$ 中系数 $k$ 的几何意义. 本例沟通初中所学的一次函数图像与这里的直线方程之间的联系, 巩固了经过两点的直线的斜率公式, 也为直线的斜截式方程作了铺垫.

例 3 有一个承上启下的作用, 既学习了如何应用斜率知识解决三点共线问题, 又为下一节如何求直线的方程埋下伏笔.

### 注意事项

把直线的倾斜角和斜率作为本章的第一节内容, 有别于 “二期课改” 教材, 既为了突出斜率在直线方程中的作用, 也考虑到学生对解析几何方法的学习需要适应过程, 并为进一步学习直线的方程作准备.

直线 $l$ 的倾斜角不是 $l$ 与 $x$ 轴作为两条直线的夹角. 我们约定,两条直线的夹角是它们所成的两组对顶角中较小的那对角的大小,从而取值范围是 $\left\lbrack  {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ ,而倾斜角取值范围是 $\lbrack 0,\pi )$ .

从解析几何的角度看, 斜率的概念远比倾斜角重要. 这主要因为它是代数量, 可以直接从直线上点的坐标、直线方程的系数上读得, 或者经过简单代数运算获得. 斜率对于刻画直线在平面直角坐标系中的位置和讨论直线的性质是非常方便的.

直线的斜率在后续课程的学习中还会发挥很大的作用. 例如, “在导数及其应用” 一章(选择性必修课程第 5 章)的学习中,学生将知道,函数在一点的导数实际上确定了它的图像在这一点上切线的斜率, 它与函数的单调性、极值等有密切联系.

### 教学建议

作为解析几何的第一节课, 要开宗明义, 强调解析几何的研究思路是通过引进坐标系, 建立几何对象与代数量之间的联系, 从而用代数的观点与方法解决几何问题. 要突出平面直角坐标系的作用, 要强调放在平面直角坐标系中思考和解决几何问题的新思路. “内容分析”部分为这种思路的课程引入和实施作了尝试,可供参考.

“倾斜角”与“斜率”就是一对典型的“几何描述”与“代数刻画”的孪生概念,前者给出了直线与坐标系相对位置关系的几何直观描述, 而后者则把直观描述转换为点的坐标之间的数值关系.

这里所定义的斜率与初中学习一次函数时所定义的斜率的一致性在例 2 中讲清了. 不要认为这是一个可有可无的例题, 它对理清学生的思路, 建立前后知识的关联是有意义的.

斜率不存在的情况教材只用一句话和一张图 (图 1-1-2) 说明, 可适当展开. 不同的斜率值(>0、=0或<0)以及对应的倾斜角的变化和直线在几何上的不同特征要通过“数形结合”呈现,引导学生用运动的观点加以分析,让学生加深印象.

例 3 的承上启下作用要重视.

#### 1.2 直线的方程

### 教学重点

从具体数字例子到一般字母表述, 逐步体会 “直线方程”的含义, 并了解几何对象 “直线”与代数对象 “二元一次方程”之间的对应关系,为几何问题代数化提供新的天地. 在学习过程中, 要注意体会 “直线上点的坐标均是二元一次方程的解, 而以二元一次方程的解为坐标的点均在直线上”这一双向的验证过程,为下一章学习 “曲线方程”打好基础.

在直线方程的学习中, 重点关注点斜式、两点式和一般式的直线方程, 了解它们的推导过程或引入方式, 掌握它们的主要特征, 并能在问题的情境中选用恰当的方程形式解决问题. 理解直线的法向量的几何意义与代数表达, 能初步使用法向量解决相关的问题.

### 内容分析

本节的第 1 小节学习特殊形式的直线方程, 主要介绍了点斜式方程与两点式方程, 斜截式方程也作为特例被提及. 整个论述基于上一节所推导的经过两点的直线的斜率公式.

点斜式方程的讨论始于上一节例 3 ,这个例题就一个具体的数字例子实际上给出了直线的方程, 不过只验证了直线上的任何点的坐标都满足方程. 本节第 1 小节的引言重复了上一节例 3 的结果, 并添加了关于坐标满足方程的任何点一定在直线上的补白, 于是可以严格地把例 3 中得到的关系式称为所求直线的方程. 如前所述, 这是理解“直线的方程”的第一台阶.

第 1 小节点斜式方程与两点式方程的推导完全依赖于上一节的斜率公式, 推导过程也与上一节的例 3 没有本质的差别(除了具体的数字变成了一般的字母). 值得指出的是, 在点斜式方程推导出来后, 教材除了说明直线上的任何点的坐标都满足方程外, 还切切实实验证了坐标满足方程的任何点一定在直线上. 这样完整地分别从两个方向论证一个方程是给定直线的方程在教材中仅此一处 (后文在点法式方程验证时, 用了充要条件的语言描述),这是理解“直线的方程”的第二台阶,教学中应该把握住.

作为点斜式方程的特例,第 1 小节还介绍了 (直线在 $y$ 轴上的) 截距概念和斜截式方程. 当斜率不为 0 时,斜截式方程就是一次函数的表达式. 除了考虑直线在 $y$ 轴上的截距,当然还可以考虑它在 $x$ 轴上的截距,如果两个截距都不是 0,还可以用两个截距把直线的方程写出来 (见习题 1.2A 组第 8 题), 习惯上称它为直线的截距式方程 (只要求学生能完成习题, 截距式方程的概念及应用不作要求).

点斜式方程是用解析几何方法在由斜率决定的一组平行线中确定过定点的唯一直线, 而两点式方程就是 “两点确定一条直线” 这一几何常识的解析几何表达. 这些方程分别体现直线的不同几何要素. 解决与直线相关的问题时, 根据问题提供的几何要素采用不同形式的直线方程, 往往可以取得意想不到的效果. 这里蕴含的代数观点解决几何问题的解析几何特征很值得细细体会.

第 2 小节讨论直线的一般式方程的切入点是代数的. 既然直线的点斜式和两点式方程都是二元一次方程, 我们就舍弃方程特殊形式及其几何背景, 从代数角度考虑最一般的二元一次方程

$$
{ax} + {by} + c = 0\text{(}a\text{、}b\text{不同时为零).}
$$

①

注意这里的“ $a\text{、}b$ 不同时为零”不是外加的条件,因为如果 $a\text{、}b$ 同时为零,①式仅为 $c = 0$ ,不再是一个二元一次方程. 我们允许一个未知数带零系数,但仍视为二元一次方程(而不是一元一次方程)讨论它的解和几何意义.

我们已经知道:

所有直线的方程都可以用①式那样的二元一次方程表示(所有直线都可以用两点式方程表示, 即使斜率不存在也可以, 参看本册教材第 8 页, 从而都可以化成①式那样的二元一次方程).

我们还想知道:

(1)是不是①式那样的二元一次方程都表示一条直线？(这个问题有了肯定的回答后, 我们才能称方程①为直线的一般式方程!)

(2)纯代数方式引入的方程①是否也揭示直线的一些几何性质呢？

问题(1)容易解决:如果 $b \neq  0$ ,①式可化为斜截式方程,从而表示一条直线；当 $b = 0$ 时,必有 $a \neq  0$ ,方程①的解集是 $\left\{  {\left( {-\frac{c}{a}, m}\right)  \mid  m \in  \mathbf{R}}\right\}$ ,从而它表示过点 $\left( {-\frac{c}{a},0}\right)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线 (注意:这里把 $b = 0$ 时的方程①还看成二元一次方程,才有上述的解集).

问题(2)的讨论导致一个新的概念——直线的法向量——的出现,从而把向量工具引入到解析几何中. 所谓直线的法向量是和直线上所有向量都垂直的非零向量. 一个令人惊奇的结论是:以直线的一般式方程①中的一次项系数为坐标的向量 $\left( {a, b}\right)$ 是直线的一个法向量. 这个结论的证明在例 9 中.

用给定的向量作法向量的直线互相都平行, 和点斜式方程类似, 只要再给定直线上的一个点, 就把直线完全确定下来了. 这就给出了直线的点法式方程的概念: 过点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 且有法向量 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ 的直线的方程是

$$
a\left( {x - {x}_{0}}\right)  + b\left( {y - {y}_{0}}\right)  = 0.
$$

②

教材用向量数量积的形式给出了点 $P\left( {x, y}\right)$ 在直线上的充要条件,进而推出点 $P\left( {x, y}\right)$ 在直线上的充要条件是其坐标满足方程②. 这里又一次给出了直线方程的验证, 不过不是从 “直线上的任何点的坐标都满足方程” 和 “坐标满足方程的任何点一定在直线上” 两个方向分别验证, 而是以充要条件的形式一起完成了两个方向的验证. 因为对 “直线的方程”的理解没有在第二台阶的基础上作质的提升,所以没把这段论述当作更高的台阶.

点法式方程的学习在很大程度上是对 “二期课改” 教材的继承. 点法式方程为后继学习两条直线的位置关系、点到直线的距离等内容提供了新的思路和方法.

本节共 11 道例题.

例 1 是为巩固点斜式方程与倾斜角、斜率、截距等概念而设计的一道简单题目.

例 2 给出了判定一个已知点是否在一条直线上的代数方法一判断点的坐标是否是方程的解. 虽然方法简单, 但是原理很深刻, 可以算是理解 “直线的方程” 的一道例题. 当然, 作判断之前应该先根据题设条件求出直线的一个方程, 教材所用的方法是用待定系数法求出斜截式方程. 其实, 此题解答更佳方案是使用截距式方程 (参看习题 1.2A 组第 8 题). 教材对直线的截距式方程不作要求, 但如果教学时间比较宽裕, 让学生见识一下也未尝不可.

例 3 与例 4 是为了巩固直线的两点式方程, 例 4 是在三角形的背景下求直线方程,其中还出现了垂直于 $x$ 轴的直线的方程.

例 5 是对前面所学的直线不同形式的方程的应用, 可以选用两点式方程也可以选择点斜式方程, 教学中不要局限于一种解法.

例 6 是求直线方程问题的反问题, 由直线的一般式方程作出其几何图形, 并求直线斜率和在 $y$ 轴上的截距. 作出直线最一般的办法是找出直线上的两点,或者找出直线与平面直角坐标系的几何关联 (平行、垂直、夹角等), 教材给出的本例第 (1) 小题的解答是找到直线上的一个点,并且知道直线平行于 $x$ 轴; 第 (2) 小题用了最通用的方法, 找出直线上的两个点. 从方程找直线的斜率和截距不过是把一般式方程变形为所需要的特殊形式的方程.

例 7 实际上是对本节内容的一个突破, 从讨论单条直线到讨论具有某种共同特征的一组直线. 此例给出的是过一个特定点的直线系, 问题没有太大难度, 把方程作一些变形就可以得到要证明的结果. 但是, 本例可能给学生带来一些新的见识和新的启发. 注意: 带参数的直线系的问题可以不断地增大难度, 教师不要在这方面变换题目强化练习, 就本例给学生一些直观的体会就可以了.

例 8 讨论直角坐标平面上带参量的直线方程中参量取值与直线所经过的区域的关系, 问题比较综合. 解题的关键是把题设条件转化为关于参量的不等式, 然后解不等式得到参量的取值范围. 为了能使用题设的几何条件, 解题的第一步必须把方程化为与几何条件相关的特殊形式. 教材所给的解法是把方程化为斜截式. 方程转化的过程如要用含参量的代数式作分母, 必须排除分母为 0 的情况, 或者把分母为 0 的情况单独考虑. 本例要作分母的是代数式 $m$ ,解题一开始就把 $m = 0$ 的情况排除了,于是把方程化为斜截式就没有困难了. 解题的第二步是把题设用方程系数的不等式表示出来. 本例中,因为直线过第一、第二象限,它在 $y$ 轴上的截距大于 0 是马上得到的. 但是由直线过第一、第二与第四象限而得出直线的斜率小于 0 似乎不那么直观. 可以反过来考虑: 斜率大于 0 的斜截式方程 $y = {kx} + b$ 所表示的直线一定过第三象限,事实上,只要取 $x$ 为小于 $- \frac{b}{k}$ 的负数,则 $x\text{、}y$ 都取负值了. 解题的最后一步是解不等式, 这是必修课程第 2 章的内容, 不赘述.

本例的上述解法可以说是通法通则, 便于学生模仿. 但本例的如下解法或许更为简便: 先排除 $m = 0$ 与 $m =  - 1$ 的情况,然后在方程中分别令 $x = 0$ 与 $y = 0$ ,得到直线在 $y$ 轴与 $x$ 轴上的截距分别为 $\frac{m - 2}{m}$ 与 $\frac{m - 2}{m + 1}$ ,而由题设推知这两个截距都是正的, 于是解不等式组

$$
\left\{  \begin{array}{l} \frac{m - 2}{m} > 0, \\  \frac{m - 2}{m + 1} > 0 \end{array}\right.
$$

就可以了.

例 9 是为了引出直线的法向量概念并证明以直线一般式方程的一次项系数为坐标的向量是直线的法向量.

例 10 是点法式方程的简单应用, 同时也复习了一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.

例 11 是用点法式方程解决几何图形面积的一个综合应用, 与例 8 有相似之处. 先根据条件写出直线的点法式方程, 排除特殊情况 (直线平行于坐标轴的情况), 然后求出直线在两个坐标轴上的截距, 而直线与坐标轴围成的三角形的面积不过是两个截距绝对值之积的一半,因此马上可以列出关于参量 $m$ 的方程并解出结果.

### 注意事项

1. 在本节教材引言中,说过 “任何直线的方程都是关于 $x$ 与 $y$ 的二元一次方程”和 “任何关于 $x$ 与 $y$ 的二元一次方程都表示一条直线”. 这两句话的第二句完全没有问题; 如果局限在平面直角坐标系中的直线和关于 $x$ 与 $y$ 的二元一次方程的关系上说, 第一句话也是对的. 更严格的表述见本册教材 2.1 节第 1 小节的第一段, 教师应按此口径进行教学. 但教师应该了解, 如果讨论一般的曲线的语境中的直线, 没有了二元一次方程的限定, 上述第一句话就有欠缺了, 我们至多可以说 “任何直线的方程都可以取为关于 $x$ 与 $y$ 的二元一次方程”. 例如,根据本册教材 2.1 节的第 1 小节第二段的定义, ${x}^{2} - {2xy} + {y}^{2} = 0$ 和 $\left( {x - y}\right) \left( {{x}^{2} + {y}^{2} + 1}\right)  = 0$ 都是第一、第三象限角的平分线 $l$ 的方程, 但它们不是二元一次方程. 当然, 更深入的数学学习可以把这两个方程定义的曲线和直线 $l$ (它对应的二元一次方程是 $x - y = 0$ ) 区分开来: ${x}^{2} - {2xy} + {y}^{2} = 0$ 表示的是两条 $l$ 重合在一起的二重直线; $\left( {x - y}\right) \left( {{x}^{2} + {y}^{2} + 1}\right)  = 0$ 表示的是由直线 $l$ 与一个虚曲线组成的多分支曲线. 这段文字不是要把更高深的数学引入到教师的理解和教学中去, 而是提醒有这样一个有歧义的地方存在, 如果有学生提出类似的复杂方程作为直线的方程, 只要符合教材 2.1 节第 1 小节第二段的定义, 就应该认为是正确的, 并对学生的探索精神加以鼓励.

2. 有些特殊形式的直线方程并不是对所有直线都适用. 例如, 只有当直线的斜率存在 (即直线不垂直于 $x$ 轴) 时,谈论它的点斜式方程才是有意义的. 又如,两个坐标对称形式的两点式方程

$$
\frac{y - {y}_{1}}{{y}_{2} - {y}_{1}} = \frac{x - {x}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}},
$$

只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义. 但不等于说只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有两点式方程. 例如, 本册教材第 8 页所示, 可以把直线的两点式方程改写为

$$
\left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) \left( {y - {y}_{1}}\right)  = \left( {{y}_{2} - {y}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{1}}\right) ,
$$

它就适用于所有情况.

3. 作为点斜式方程的特例, 斜截式方程要作为教学内容出现, 特别关注它与一次函数的关系. 截距式方程的定义只在习题中出现, 不作为教学要求, 但两个截距都在正文中明确定义,作为教学要求.

4. 与坐标轴平行的直线也要让学生了解, 特别要让学生体会到表示这些特殊位置的直线的方程 $x = a$ 和 $y = b$ 要看成二元一次方程,而不是一元一次方程,从而它们的解集分别是 $\{ \left( {a, n}\right)  \mid  n \in  \mathbf{R}\}$ 和 $\{ \left( {m, b}\right)  \mid  m \in  \mathbf{R}\}$ ,分别表示垂直于 $x$ 轴且在 $x$ 轴上截距为 $a$ 的直线和垂直于 $y$ 轴且在 $y$ 轴上截距为 $b$ 的直线. 前者倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$ ,斜率不存在; 后者倾斜角为 0,斜率为 0 . 还要注意,当 $a = 0$ 时,方程 $x = a$ 表示 $y$ 轴; 当 $b =$ 0 时,方程 $y = b$ 表示 $x$ 轴.

5. 教材中直线的一般式方程引入时作为承上启下的第一句话“不管哪种形式的直线方程都是关于 $x$ 与 $y$ 的二元一次方程”,但这句话本质是让最一般的二元一次方程 ${ax} + {by} + c = 0\left( {a\text{、}b}\right.$ 不同时为零) 在这里“亮相”.

关于这个方程, 注意三点: 其一, 教材中“因此都可以化为”几个字不过说了学生都已经熟悉的平凡事实, 没有必要把让学生理解 “化”、动手 “化” 当作教学的关注点; 其二,确实要向学生强调条件 “a、b 不同时为零”,当上下文不足以判断 “a、b 不同时为零”时, 要把它写在方程表达式后面作为附加说明, 但更重要的是要让学生真正明白这个条件是自然的而不是外加的,因为当 $a\text{、}b$ 同时为零时, ${ax} + {by} + c = 0$ 变成了 $c = 0$ ,它不再是直线方程了；其三,如果 $a$ 、 $b$ 中恰有一个为零时,就表示了上文所说的垂直于坐标轴的直线, 这个问题要予以关注.

如前所述, 只有验证了所有形如①式的方程都表示一条直线后, 才能称①式为直线的一般式方程. 还要注意的是,直线的一般式方程可以差一个非零的常数倍, ${ax} + \; {by} + c = 0\left( {a\text{、}b\text{不同时为零}}\right)$ 与 $\max  + \operatorname{mby} + {mc} = 0\left( {m \neq  0}\right)$ 表示的是同一条直线 (当然, 作为二元一次方程而言, 它们也是同解的方程).

令人惊奇的是,一般式方程竟然揭示了直线的一个重要几何性质:以它的一次项系数为坐标的向量是直线的法向量! 法向量的自然出现使得向量成为解析几何里研究直线的重要工具, 对这一点应该在本节予以强调, 同时要指出本章后面几节将看到法向量的作用.

6. 与直线相关的向量还有直线的方向向量, 它最直观的定义是由直线上两个不同点分别作为起点和终点的向量. 例 9 中的向量 $\overrightarrow{AB}$ 和点法式方程推导过程中的向量 $\overrightarrow{MP}$ 都是直线 $l$ 的方向向量. 当然,直线的方向向量作平移后还是这条直线的方向向量, 因为平移前后的向量是同一个向量. 因此, 方向向量也可以定义为 “与直线上任何两点构成的向量均平行的非零向量” (见习题 1.2B 组第 11 题), 这里的“均”在定义时强调, 实际只要对直线上一条非零向量验证就可以了. 因为法向量垂直于直线上的任何向量, 方向向量平行于直线上的任何向量, 所以方向向量垂直于法向量, 直线的方向向量还可以定义为 “与直线的法向量垂直的非零向量”.

和法向量类似, 方向向量也具备普适性, 可以替代法向量处理本节的所有问题, 适用于所有直线, 没有例外. 教材采用法向量可以说只是一种选择. 一般式方程①所表示直线的方向向量也可以从方程①的表达式中读出: 因为 $\left( {a, b}\right)$ 是直线的法向量,而 $\left( {a, b}\right)  \cdot  \left( {b, - a}\right)  = 0$ ,所以向量 $\left( {b, - a}\right)$ 是这条直线的方向向量.

### 教学建议

在本节的第 1 小节, 要特别重视点斜式方程的学习, 因为它是我们学习的第一种直线方程. 教材在点斜式方程的引入上做足了文章. 先是在上一节预置了例 3 , 承上启下, 实际上求出了一个点斜式方程, 但未出现直线方程的概念, 留待本节第 1 小节引言对例 3 的结果加以复述, 引出直线方程的概念; 然后就一般的情形推导点斜式方程, 强调直线方程验证的两个方向. 两点式方程的推导本质上还是点斜式方程的推导, 不过从给定斜率改为从已知两点求出斜率. 两点式方程的推导几乎就是上一节例 3 的翻版, 只不过把具体的数字改为字母. 教材设计这样的往复循环, 是为了让学生一开始就能由浅入深, 对直线的点斜式方程与两点式方程有很好的理解和把握.

前文已经说明,两点式方程和点斜式方程可以理解为 “两点确定一条直线” 和 “经过直线外的一点, 有且只有一条直线与已知直线平行”这些几何命题在解析几何语境下的实现. 这样体现数形结合的数学思想在教学中要尽量展现.

一般式方程宜从代数角度引入. 因为直线的点斜式与两点式等特殊形式的方程都可以化为形如①式的方程,只要再验证了所有形如①式的方程都表示一条直线以后, 就可以称形如①式的方程为直线的一般式方程.

在一般式方程教学中,学生真正可能产生认知困难的是当 $a\text{、}b$ 恰好有一个是零时如何理解方程 (或者学生忽略这种情况,只会形式地标注 “ $a\text{、}b$ 不同时为零”). 要让学生区分关于 $x\text{、}y$ 的二元一次方程 $x + c = 0$ 与一元一次方程 $x + c = 0$ ,前者的解集应该在平面直角坐标系中描述,是过点 $\left( {-c,0}\right)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线,而后者的解集应该在数轴上描述,是一个坐标为 $- c$ 的点.

除了教材所提供的点法式方程的推导过程外, 可以从另一个角度 “直观地” 验证方程②是过点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 且有法向量 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ 的直线的方程:由一般式方程系数的性质得知,方程②所表示的直线有法向量 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ ,再把 $x = {x}_{0}, y = {y}_{0}$ 代入,立刻就验证了这条直线过点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ .

点法式方程在数学思想上可以类比点斜式方程. 法向量和斜率都决定了平面上一组平行线 (即决定了平面上的一个方向), 再添加一个定点, 就把一条直线确定下来了. 这本质上是欧几里得第五公设.

教材反复出现关于“直线方程”概念的描述,关键是要双向验证点的坐标与方程的解的关系, 即给定直线上的任意一点的坐标都是给定方程的解, 反过来, 以给定方程的解为坐标的点一定在给定的直线上. 教材有层次地推进这个概念的认识, 从具体数字的例子(第一台阶)到一般的论述(第二台阶), 两个方向的验证还可以用充要条件表述(教材中关于点法式方程的说明). 所有这些素材应该结合每次出现的情境因势利导, 潜移默化地渗透在教学过程中, 避免生硬的灌输.

本节的例题较多, 多数例题教材上没有给出图形, 教学时应尽可能画出示意图, 帮助学生积累直线与坐标平面的直观经验, 培养数形结合的意识.

#### 1.3 两条直线的位置关系

### 教学重点

本节中, 我们将学习如何用代数的方法来研究直线中的一些基本问题, 包括根据两条直线的方程判断两条直线的相交、平行与重合的位置关系, 判断两条直线是否垂直, 求两条直线的夹角等. 在学习这些知识的过程中, 既要体验方程的思想, 根据方程组解的情况判定两条直线的位置关系; 也要关注数形结合的方法, 根据直线方程中所反映的几何要素, 如倾斜角、法向量, 来帮助解决有关问题.

### 内容分析

本节包含两小节, 第 1 小节是根据两条直线的方程判定两条直线的位置关系; 第 2 小节进一步用两条直线的方程判定两条直线是否垂直以及求两条直线的夹角.

给定两条直线

$$
\begin{aligned}  & {l}_{1} : {a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1} = 0\;\left( {{a}_{1}\text{、}{b}_{1}}\right. \text{不同时为零})\text{,} \\  & {l}_{2} : {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0\;\left( {{a}_{2}\text{、}{b}_{2}}\right. \text{不同时为零})\text{.} \end{aligned}
$$

③

第 1 小节是判断③式所示的两条直线平行、相交与重合. 用两条直线的公共点个数来描述, 就是判断它们何时没有公共点、何时恰好有一个公共点以及何时有无穷多公共点; 转成代数语言就是判断两个方程组成的二元一次方程组

$$
\left\{  \begin{array}{l} {a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1} = 0, \\  {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0 \end{array}\right.
$$

④

⑤

何时无解、何时有唯一解以及何时有无穷多解. 这纯粹是二元一次方程组求解的问题, 是典型的解析几何的方法. 学生应该熟悉有唯一解的二元一次方程组的求解, 但对无解或者有无穷多解的情况可能相对陌生一些, 在分情况讨论时教师要更关注非唯一解的情况. 经过分情况讨论, 得到如下充要条件:

$$
\left. \begin{array}{l} {l}_{1}与{l}_{2}\text{ 重合 } \Leftrightarrow  \text{ 存在 }\lambda  \in  \mathbf{R},\text{ 使得 }{a}_{1} = \lambda {a}_{2},{b}_{1} = \lambda {b}_{2},\text{ 且 }{c}_{1} = \lambda {c}_{2}; \\  {l}_{1}//{l}_{2} \Leftrightarrow  \text{ 存在 }\lambda  \in  \mathbf{R},\text{ 使得 }{a}_{1} = \lambda {a}_{2},{b}_{1} = \lambda {b}_{2},\text{ 但 }{c}_{1} \neq  \lambda {c}_{2}; \\  {l}_{1}与{l}_{2}\text{ 相交 } \Leftrightarrow  {a}_{1}{b}_{2} \neq  {a}_{2}{b}_{1}. \end{array}\right\}
$$

⑥

在相交的情况下,交点坐标 $\left( {x, y}\right)$ 是方程组的唯一解

$$
\left\{  \begin{array}{l} x = \frac{{c}_{2}{b}_{1} - {c}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1}}, \\  y = \frac{{c}_{1}{a}_{2} - {c}_{2}{a}_{1}}{{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1}}. \end{array}\right.
$$

⑦

---

① 由方程④⑤联立的方程组 (当 ${a}_{1}{b}_{2} \neq  {a}_{2}{b}_{1}$ 时) 的解也可以用行列式写成更便于记忆的形式:

$$
\left\{  \begin{array}{l} x =  - \left| \begin{array}{ll} {c}_{1} & {b}_{1} \\  {c}_{2} & {b}_{2} \\  {a}_{1} & {b}_{1} \end{array}\right| \\  y =  - \left| \begin{array}{ll} {a}_{1} & {c}_{1} \\  {a}_{2} & {c}_{2} \\  {a}_{1} & {b}_{1} \\  {c}_{2} & {c}_{2} \end{array}\right| . \end{array}\right.
$$

注意: 在线性代数课程中, 一次方程组的常数项通常写在等号的右边, 而这里的方程组的常数项和其他项一起写在等号的左边, 所以和线性代数里的公式相比, 这里解的表达式多了一个负号. 本注解内容仅供教师参考, 不作为教学内容.

---

上一节已经学过, 法向量和斜率都给出了平行的直线, 所以很容易得到: 两条直线平行或重合当且仅当它们的法向量平行 (从而两条直线相交当且仅当它们的法向量不平行); 当直线的斜率存在时, 两条直线平行或重合当且仅当它们的斜率相等 (从而两条直线相交当且仅当它们的斜率不相等). 这些推理并不依赖于上面的充要条件⑥. 但如果注意到两条直线的法向量分别是 $\overrightarrow{{n}_{1}} = \left( {{a}_{1},{b}_{1}}\right)$ 与 $\overrightarrow{{n}_{2}} = \left( {{a}_{2},{b}_{2}}\right)$ ,斜率分别是 ${k}_{1} =  - \frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$ 与 ${k}_{2} =  - \frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$ (此时要假定 ${b}_{1}$ 与 ${b}_{2}$ 均不为零),那么用法向量和斜率表达的充要条件也是上述充要条件⑥的推论. 但无论如何,这两种方式表达的充要条件更侧重抓直线的几何要素, 在数形结合上体现得更直观, 更生动活泼.

第 1 小节可以说是非常“初等”的, 只靠二元一次方程组的求解就可以达到我们的目的; 但第 2 小节我们就要依靠向量的工具了. 自然想起使用直线的法向量, 因为它的坐标可以从直线的一般式方程上自然地读得.

第 2 小节的思路是把关于直线的问题化归为关于两条直线的法向量 $\overrightarrow{{n}_{1}} = \left( {{a}_{1},{b}_{1}}\right)$ 与 $\overrightarrow{{n}_{2}} = \left( {{a}_{2},{b}_{2}}\right)$ 的问题,关键是理清楚两条直线的垂直与否或夹角大小与法向量的垂直与否或所成角大小的关系.

两条直线的垂直判定问题只是求夹角问题的特例, 比一般的求夹角问题简单. 教材把垂直判定放在求夹角之前, 是先易后难、先特殊后一般的思路, 给学生铺设理解的台阶.

两条直线垂直当且仅当它们的法向量垂直, 这是很容易理解的, 本册教材第 19 页的图 1-3-1 也给出了直观的几何描述. 再回顾必修课程 8.3 节给出的用向量坐标表述的向量垂直的充要条件 (必修第二册第 118 页), 马上得出

$$
{l}_{1} \bot  {l}_{2} \Leftrightarrow  \overrightarrow{{n}_{1}} \bot  \overrightarrow{{n}_{2}} \Leftrightarrow  {a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2} = 0.
$$

当 ${b}_{1}$ 、 ${b}_{2}$ 都不等于零时 (即 ${l}_{1}$ 、 ${l}_{2}$ 都有斜率时),教材还提到了充要条件

$$
{l}_{1} \bot  {l}_{2} \Leftrightarrow  {k}_{1}{k}_{2} =  - 1,
$$

这也是很有用的结论, 特别是当直线的方程是由点斜式或斜截式给出时.

求直线夹角稍微复杂一些, 复杂在直线夹角和它们的法向量所成角的关系不像垂直情况那么一目了然. 本册教材图 1-3-2 及其说明文字论证了直线夹角 $\alpha$ 与它们的法向量所成角 $\theta$ 的关系是相等或互补,考虑到 $0 \leq  \alpha  \leq  \frac{\pi }{2}$ ,从必修课程 8.3 节给出的用向量坐标表述的两个向量所成角的公式立即得到

$$
\cos \alpha  = \left| {\cos \theta }\right|  = \frac{\left| {a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2}\right| }{\sqrt{{a}_{1}^{2} + {b}_{1}^{2}}\sqrt{{a}_{2}^{2} + {b}_{2}^{2}}}.
$$

本节共有 7 道例题.

例 1 与例 2 是为了巩固“如何根据直线方程判定两条直线位置关系”这个方法. 例 1 的作用是让学生体会根据所给方程的不同形式, 选择合适方法判定两条直线的位置关系,同时巩固如何求两条相交直线的交点坐标. 例 2 给出的两条直线是含参数 $m$ 的一般式方程,研究两条直线的位置关系如何随着参数 $m$ 的变化而变化. 其解题的突破 ☐是利用两条直线相交的充要条件,先求出当参数 $m$ 满足什么条件时两条直线相交, 再区分平行与重合的情况.

例 3、例 4 与例 5 是对“如何根据方程判定两条直线是否垂直”这个方法的巩固和应用. 例 3 联系充要条件 ${l}_{1} \bot  {l}_{2} \Leftrightarrow  {a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2} = 0$ ; 例 4 联系充要条件 ${l}_{1} \bot  {l}_{2} \Leftrightarrow  {k}_{1}{k}_{2} =$ -1; 例 5 是应用两条直线垂直关系综合解决问题, 设直线方程时可以选择点斜式, 也可以选择点法式, 解决问题时还应该结合图形, 培养学生综合应用所学知识解决问题的能力.

例 6 和例 7 是为了巩固两条直线之间的夹角的余弦公式. 例 6 是直接应用夹角的余弦公式求两条直线的夹角; 例 7 是已知两条直线的夹角, 用解方程的方法求出另一条直线的一个法向量. 在例 7 的解题过程中,会有一条斜率不存在的直线符合题意. 若用点斜式设方程, 要注意思维的严谨性, 先考虑斜率不存在的情况, 再考虑斜率存在的情况. 这样思考, 避免漏解.

### 注意事项

数学课程标准在解析几何中对两条直线的夹角已不作要求. 本教材之所以保留这一内容, 其原因主要有: 一是保持知识的相对完整性, 与平面几何相呼应; 二是凸显引入点法式方程的优势; 三是延续“二期课改”教材的内容要求. 但只限于概念及公式的简单运用, 不宜作更多的拓展.

用两条直线的法向量来判断两条直线是否垂直以及求两条直线的夹角, 可以说是对上海市“二期课改”教材特点的继承,但从数学本身来说,法向量方法也是具有很大的优势的,因为:其一,对于以一般式方程给出的两条直线,法向量是可以直接读出的；其二, 法向量方法适用于所有直线, 没有例外. 若用斜率而不是法向量讨论问题, 则会陷入讨论斜率存在和不存在的困境. 当然, 这是一般而言, 解决数学问题不应过分追求套路, 而应该针对具体问题采用更恰当的方法. 例如, 如果两条直线是用点斜式方程给出的, 用斜率讨论常常是最佳选择, 因为化为一般式再求法向量, 往往可能多花精力.

与直线相关的另外一个重要的向量, 即上文提到的直线的方向向量, 可以替代法向量处理本节的所有问题, 它也具备普适性, 适用于所有直线, 没有例外. 和法向量类似, 方向向量也可以从直线的一般式方程中读出; 而且由于向量本身就在直线上, 向量所成的角与直线夹角的关系似乎更加直截了当 (但仍然逃脱不了分情况讨论). 在平面解析几何中处理直线问题时, 选择法向量或方向向量本身没有明显的优劣之分, 但选用法向量的一个优势是它可作为第 3 章用法向量处理平面问题的预演, 为学生理解平面法向量相关技巧铺设了一个台阶.

在第 3 章“3.4 空间向量在立体几何中的应用”中,刻画直线的方向将用方向向量, 因为在三维空间中, 与一条直线垂直的平面中, 任何向量都与这条直线垂直, 所以无法定义直线的法向量. 一个平面不可能像直线一样定义方向向量,因为平面上有无数不平行的向量, 但平面的法向量可以明确定义, 并且法向量和平面上的一个点就完全确定了这个平面, 可见平面的法向量在平面研究中有特别重要的意义. 本节有关直线法向量的一些几何讨论将在第 3 章拓展到平面法向量的讨论上.

### 教学建议

本节的学习, 仍应始终围绕“用代数的方法解决几何问题”这一解析几何的核心思想展开, 突出用直线方程来研究和解决与直线有关的问题.

第 1 小节讨论平面上两条直线的位置关系时, 把两条直线的方程联立求解, 并通过解的个数来判定两条直线的相交、重合或平行, 这是解析几何的经典做法. 解二元一次方程组是学生已学知识, 直线的相交、重合与平行也是平面几何的最基本的内容, 但把二者联系起来, 需要学生深刻体会通过联立方程与求方程组解的个数来判断两条直线的位置关系这一原理, 其核心是 “点在直线上的充要条件是点的坐标满足该直线的方程”,这也是通过联立方程求两条直线交点坐标的基础.

教材的处理方法是:不急着直接解方程组,而是从两个方程的系数分析,得出无数组解 (两直线重合) 和无解(两直线平行) 的两个极端情况,再对 ${a}_{1}{b}_{2} \neq  {a}_{2}{b}_{1}$ 的情况, 求解方程组得出直线交点的坐标 (见⑦式).

教师也可以先不作系数分析, 直接让学生着手解④和⑤联立的方程组.

分别把方程④ $\times  {b}_{2} -$ ⑤ $\times  {b}_{1}$ 和⑤ $\times  {a}_{1} -$ ④ $\times  {a}_{2}$ ,方程组变形为

$$
\left\{  \begin{array}{l} \left( {{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1}}\right) x + \left( {{c}_{1}{b}_{2} - {c}_{2}{b}_{1}}\right)  = 0, \\  \left( {{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1}}\right) y + \left( {{c}_{2}{a}_{1} - {c}_{1}{a}_{2}}\right)  = 0. \end{array}\right.
$$

在此基础上再分三种情况讨论, 就可得出等价条件⑥.

用直线的斜率或法向量来判定直线相交还是平行 (或重合), 也可以看成从解方程组得到的等价条件⑥的推论,也可以从斜率、法向量所表达的几何意义直接推出,教师可以灵活处理. 这些内容拓宽了学生的视野,在数形结合上体现得更直观,更生动活泼. 法向量在本小节没有扮演舍我其谁的重要角色, 但它在这里的出现, 为下一小节和 1.4 节中的关键作用作了预演和铺垫.

第 2 小节学习的关键有两个方面, 一是平面向量的相关内容的回顾, 最主要的是向量的数量积及其在坐标表示下的公式 (向量数量积的公式、向量所成角的公式以及由此推出的向量垂直的充要条件); 另一个关键是从几何上分析清楚两条直线的夹角与它们的法向量所成的角之间的关系.

直线垂直与法向量垂直的关系简单直观, 这里不再赘述.

为了分析两条直线的夹角与它们的法向量所成的角之间的关系, 本册教材用了图 1-3-2, 说明两角有互补和相等两种情况出现. 注意到法向量的负向量仍是这条直线的法向量, 总可以把问题归结到图 1-3-2 所示的两种情况. 可能有些教师认为这样归结还不如穷举所有可能,穷举也是可以采取的数学方法. 为此,这里把图 1-3-2 扩充成图 1-R1, 共列出四种可能. 可以引导学生分析把一个法向量用它的负向量代替, 就可以把图 1-R1 的四种情况化为前两种情况 (即图 1-3-2 所示的两种情况).

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图 1-R1

由于两条直线夹角 $\alpha$ 大小的取值范围约定为 $0 \leq  \alpha  \leq  \frac{\pi }{2}$ ,总有 $\cos \alpha  \geq  0$ ,推得 $\cos \alpha  = \left| {\cos \theta }\right|$ ,得出两条直线夹角余弦的公式.

这里可以看出, 直线夹角大小的取值范围的这种约定给我们带来很大的方便, 它使我们不必费精力去精确地判断何时 $\cos \alpha  = \cos \theta$ ,何时 $\cos \alpha  =  - \cos \theta$ ,绝对值符号就解决问题了. 这种方便在第 3 章“空间向量及其应用”的 3.4 节中也得以体现, 空间直线所成角大小的取值范围和空间直线与平面所成角大小的取值范围也有类似的约定, 绝对值符号的应用省去了一些细节的判断.

#### 1.4 点到直线的距离

### 教学重点

本节的教学重点在于让学生掌握点到直线的距离的公式, 并了解公式的推导过程, 体验数形结合的思想和向量方法的应用.

### 内容分析

给定平面上的一个点和一条直线, 几何上关心的问题自然是: (1) 点是否在直线上? (2)如果点不在直线上, 它到直线的距离是多少? 解析几何中在相同的条件下我们关心的依然是这两个问题, 不过给定条件和问题答案必须用点的坐标和直线的方程来描述. 也就是说, 给定的条件是一个点的坐标和一条直线的方程, 上述问题 (1) 的判断在 1.2 节已有回答: 点在直线上当且仅当点的坐标满足直线的方程. 当点不在直线上时, 如何用点的坐标和直线的方程表示出点到直线的距离, 这是本节要解决的问题. 于是,设给定直线 $l : {ax} + {by} + c = 0\left( {a\text{、}b}\right.$ 不同时为零 $)$ 和直线外一点 $P\left( {x}_{0}\right.$ , $\left. {y}_{0}\right)$ ,要求点 $P$ 与直线 $l$ 的距离.

学习了平面几何和解析几何的学生很自然的想法是写出过点 $P$ 并垂直于直线 $l$ 的直线 ${l}^{\prime }$ 的方程,求直线 ${l}^{\prime }$ 与已知直线 $l$ 交点 $Q\left( {{x}_{Q},{y}_{Q}}\right)$ 的坐标,再求线段 ${PQ}$ 的长度 $d$ . 这肯定是可行的解决问题方案. 教材没有对这个方案提供细节,只说计算量比较大, 然后转到向量方法. 这里就这个方案提供一个完整的解题过程, 包括其中一些技巧性的提示, 供教师参考.

因为 $\left( {a, b}\right)  \cdot  \left( {b, - a}\right)  = 0$ ,所以所有垂直于直线 $l$ 的直线具有法向量 $\left( {b, - a}\right)$ , 直线 ${l}^{\prime }$ 的点法式方程为 ${l}^{\prime } : b\left( {x - {x}_{0}}\right)  - a\left( {y - {y}_{0}}\right)  = 0$ . 这样,点 $Q$ 的坐标是方程组

$$
\left\{  \begin{array}{l} {ax} + {by} + c = 0, \\  b\left( {x - {x}_{0}}\right)  - a\left( {y - {y}_{0}}\right)  = 0 \end{array}\right.
$$

的解. 考虑到要计算的是 $\left| {PQ}\right|  = \sqrt{{\left( {x}_{Q} - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( {y}_{Q} - {y}_{0}\right) }^{2}}$ ,不妨把上述方程组整理成关于未知数 $x - {x}_{0}$ 与 $y - {y}_{0}$ 的二元一次方程组,得

$$
\left\{  \begin{array}{l} a\left( {x - {x}_{0}}\right)  + b\left( {y - {y}_{0}}\right)  =  - \left( {a{x}_{0} + b{y}_{0} + c}\right) , \\  b\left( {x - {x}_{0}}\right)  - a\left( {y - {y}_{0}}\right)  = 0. \end{array}\right.
$$

又容易看出,把两个方程两侧分别平方后相加,关于未知数的项只有 $x - {x}_{0}$ 与 $y - {y}_{0}$ 的平方项, 即有

$$
\left( {{a}^{2} + {b}^{2}}\right) \left\lbrack  {{\left( x - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( y - {y}_{0}\right) }^{2}}\right\rbrack   = {\left( a{x}_{0} + b{y}_{0} + c\right) }^{2},
$$

这与我们所希望的结果在形式上很接近. 点 $Q\left( {{x}_{Q},{y}_{Q}}\right)$ 的坐标满足这个方程,所以

$$
{\left( {x}_{Q} - {x}_{0}\right) }^{2} + {\left( {y}_{Q} - {y}_{0}\right) }^{2} = \frac{{\left( a{x}_{0} + b{y}_{0} + c\right) }^{2}}{{a}^{2} + {b}^{2}}.
$$

此式两边开平方, 得

$$
d = \frac{\left| a{x}_{0} + b{y}_{0} + c\right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}.
$$

⑧

上述解法主体是纯代数的,但在求直线 ${l}^{\prime }$ 的方程时还是用了直线的法向量和点法式方程 (当然, 这也是可以回避的, 但我们要从源头上去绕圈子了. 这似乎对我们本节课的学习没有更多的启迪).

本册教材没有采用前面的计算,而是把求 $d = \left| \overrightarrow{PQ}\right|$ 的问题转化为求 $\overrightarrow{PQ}$ 与法向量 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ 的数量积的问题: 由于 $\overrightarrow{PQ}//\overrightarrow{n},\cos \langle \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{n}\rangle  =  \pm  1$ ,因此 $\overrightarrow{PQ} \cdot  \overrightarrow{n} =  \pm  \left| \overrightarrow{PQ}\right| \; \left| \overrightarrow{n}\right|$ ,从而

$$
d = \left| \overrightarrow{PQ}\right|  = \frac{\left| \overrightarrow{PQ} \cdot  \overrightarrow{n}\right| }{\left| \overrightarrow{n}\right| },
$$

后续的推导也给出了公式 ⑧.

本节有 3 道例题.

例 1 是点到直线距离公式的简单应用.

例 2 是用点到直线的距离公式, 求两条平行直线之间的距离, 并由特殊到一般, 拓展得到任意两条平行直线 ${ax} + {by} + {c}_{1} = 0$ 与 ${ax} + {by} + {c}_{2} = 0\left( {a\text{、}b}\right.$ 不同时为零) 之间的距离公式

$$
d = \frac{\left| {c}_{1} - {c}_{2}\right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}.
$$

在推导过程中将平行线之间的距离化归为点到直线的距离以及计算过程中的整体代换的方法是值得学习的.

例 3 是为了巩固两条平行直线之间的距离公式, 同时也巩固了根据已知直线方程设其平行线方程的方法.

### 注意事项

1. 教材推导公式 ⑧ 时用了垂足 $Q$ ,但这个垂足条件不是本质需要的,只是承接上一段的论述信手拈来,便于学生理解罢了. 事实上,在直线 $l$ 上任取一点 $M$ 来代替垂足 $Q$ ,同样可以得出 $d = \frac{\left| \overrightarrow{PM} \cdot  \overrightarrow{n}\right| }{\left| \overrightarrow{n}\right| }$ (但 $d = \left| \overrightarrow{PM}\right|$ 一般是不成立的),不过其理由变成了点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 是向量 $\overrightarrow{PM}$ (其中点 $M$ 在直线 $l$ 上)在 $l$ 的法向量 $\overrightarrow{n}$ 方向上投影的模. 根据向量投影的公式 (必修第二册第 106 页) 和向量的数量积的定义 (必修第二册第 107 页),可得 $\overrightarrow{PM}$ 在 $\overrightarrow{n}$ 方向上投影是

$$
\frac{\left| \overrightarrow{PM}\right| \cos \langle \overrightarrow{PM},\overrightarrow{n}\rangle }{\left| \overrightarrow{n}\right| }\overrightarrow{n} = \frac{\left| \overrightarrow{PM}\right| \left| \overrightarrow{n}\right| \cos \langle \overrightarrow{PM},\overrightarrow{n}\rangle }{{\left| \overrightarrow{n}\right| }^{2}}\overrightarrow{n} = \frac{\overrightarrow{PM} \cdot  \overrightarrow{n}}{{\left| \overrightarrow{n}\right| }^{2}}\overrightarrow{n},
$$

于是 $d$ 等于它的模,即

$$
d = \frac{\left| \overrightarrow{PM} \cdot  \overrightarrow{n}\right| }{\left| \overrightarrow{n}\right| }.
$$

再用点 $M$ 的坐标 $\left( {{x}_{M},{y}_{M}}\right)$ 代替点 $Q$ 的坐标 $\left( {{x}_{Q},{y}_{Q}}\right)$ 就可仿照教材进行后续推导,得到公式⑧.

这里的 $\overrightarrow{PM} \cdot  \overrightarrow{n} = \overrightarrow{PQ} \cdot  \overrightarrow{n}$ ,或者更一般地,对直线 $l$ 上的任意两点 $M$ 与 ${M}^{\prime }$ ,都可得到 $\overrightarrow{PM} \cdot  \overrightarrow{n} = \overrightarrow{P{M}^{\prime }} \cdot  \overrightarrow{n}$ ,这在向量理论中是很容易理解的,这是因为 $\overrightarrow{P{M}^{\prime }} = \overrightarrow{PM} + \; \overrightarrow{M{M}^{\prime }}$ ,而 $\overrightarrow{M{M}^{\prime }} \bot  \overrightarrow{n}$ ,从而

$$
\overrightarrow{P{M}^{\prime }} \cdot  \overrightarrow{n} = \overrightarrow{PM} \cdot  \overrightarrow{n} + \overrightarrow{M{M}^{\prime }} \cdot  \overrightarrow{n} = \overrightarrow{PM} \cdot  \overrightarrow{n}.
$$

2. 在分析和推导点到直线的距离公式中, 要充分尊重学生的思维过程, 提倡通性通法, 鼓励发散性思维, 不否定和排斥用设方程、解方程组的方法求垂足的坐标, 再求点到直线距离的方法; 不排斥结合几何图形, 用一些几何的方法求点到直线的距离公式.

3. 与“二期课改”教材不同的是,本册教材不要求学习点到直线的有向距离公式, 即 $\delta  = \frac{a{x}_{0} + b{y}_{0} + c}{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}$ . 教师不必纠缠于此主题.

### 教学建议

本节课题的引入,可以创设生活情境,从生活中需要计算的点到直线的距离开始; 也可以从数学的角度提出,在平面直角坐标系中,因为坐标 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 确定一个点 (设为 $P$ ),关于 $x\text{、}y$ 的二元一次方程 ${ax} + {by} + c = 0$ 确定一条直线 (设为 $l$ ),所以一定可以用 ${x}_{0}\text{、}{y}_{0}\text{、}a\text{、}b\text{、}c$ 来表示点 $P$ 到直线 $l$ 的距离; 还可以从特殊到一般,由具体到抽象. 如何选择, 由学生的认知基础决定.

建议将距离公式的推导设计成一个探索过程, 教师和学生一起经历. 可以从学生最容易想到的解方程组入手. 参考“内容分析”部分所给的解方程过程,引导学生进行未知数的替换, 并探索捷径走向我们的目标. 可以设想, 如果要求未知数的解, 再作平方和及开平方以计算距离, 势必非常复杂和冗长. 让学生在教师指导下实践把过程的中间结果和目标相比, 从而接近目标、达到目标, 享受灵活解题的乐趣.

用向量的数量积方式推导公式素材的选取可以有弹性. 可以根据学生的条件在 “垂足”(教材中的方法) 和直线上任意点 (“注意事项”之 1 ) 中选择一种加以处理. 如果学生有足够的余力, 可以从特殊到一般, 两种情况都讲, 并体会其中的思维发展, 复习向量的有关知识.

#### 三、参考答案或提示

##### 1.1 直线的倾斜角与斜率

### 练习 1.1

1.(1)斜率为 -1,倾斜角为 ${135}^{ \circ  }$ . (2)斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ,倾斜角为 ${150}^{ \circ  }$ .

2. 直线 ${OB}$ 和 ${AC}$ 的斜率为 1 和 -1 .

3. 证明略.

习题 1.1

A 组

1. 直线 ${l}_{1}$ 的倾斜角为 $\frac{5\pi }{6}$ ,斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ; 直线 ${l}_{2}$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{3}$ ,斜率为 $\sqrt{3}$ .

2.(1)斜率为 -3,倾斜角为 $\pi  - \arctan 3$ .

(2)当 $a < 2$ 时,斜率为 $\frac{3}{2 - a}$ ,倾斜角为 $\arctan \frac{3}{2 - a}$ ；

当 $a = 2$ 时,斜率不存在,倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$ ;

当 $a > 2$ 时,斜率为 $\frac{3}{2 - a}$ ,倾斜角为 $\pi  - \arctan \frac{3}{a - 2}$ .

3. (1) $\left\lbrack  {1,\sqrt{3}}\right\rbrack$ . (2) $\left( {-\infty , - \sqrt{3}}\right)$ .

4. $a =  - \frac{5}{7}$ ,斜率为 $- \frac{1}{6}$ .

5. $\left\lbrack  {\frac{2}{5},\frac{5}{3}}\right\rbrack$ .

### B 组

1. 当 $\theta  \in  \left\lbrack  {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 时,直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{2} - \theta$ ; 当 $\theta  \in  \left( {\frac{\pi }{2},\pi }\right)$ 时,直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{3\pi }{2} - \theta$ .

2. 证明略.

3. 当 $k = 0$ 时,为 $\overrightarrow{a}$ ; 当 $k \neq  0$ 且 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b} = \left( {1,0}\right)$ 为锐角时,向量投影为 $\left( {\frac{\left| \overrightarrow{a}\right| }{\sqrt{1 + {k}^{2}}},0}\right)$ ; 当 $k \neq  0$ 且 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b} = \left( {1,0}\right)$ 为钝角时,向量投影为 $\left( {\frac{-\left| \overrightarrow{a}\right| }{\sqrt{1 + {k}^{2}}},0}\right)$ .

#### 1.2 直线的方程

练习 ${1.2}\left( 1\right)$

1. $y - 3 = \left( {-1}\right)  \cdot  \left( {x + 2}\right)$ .

2. $y =  - \frac{\sqrt{3}}{3}\left( {x + 1}\right)$ .

3. $x = 2$ .

4. $y =  - x - 3$ 或 $y = \frac{1}{2}x$ .

练习 ${1.2}\left( 2\right)$

1. $\frac{y - 3}{6 - 3} = \frac{x + 2}{0 - \left( {-2}\right) }$ ,即 $\frac{y - 3}{3} = \frac{x + 2}{2}$ .

2. $a =  - 2$ ,直线 $l$ 的方程为 $y =  - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ .

3. 边 ${OA}\text{、}{OB}$ 与 ${AB}$ 的中线所在直线的方程分别为 $y =  - \frac{3}{2}x + 3, y =  - \frac{3}{8}x + \; \frac{3}{2}$ 与 $y = \frac{3}{4}x$ .

练习 ${1.2}\left( 3\right)$

1. (1)斜率不存在,倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$ . (2)斜率为 -1,倾斜角为 $\frac{3\pi }{4}$ .

(3)斜率为 $- \frac{1}{2}$ ,倾斜角为 $\pi  - \arctan \frac{1}{2}$ . (4)斜率为 0 ,倾斜角为 0 .

2. 证明略(过定点 $\left( {-1,0}\right)$ ).

3. $\left( {0,3}\right)$ .

练习 ${1.2}\left( 4\right)$

1. (1) $\left( {2, - 3}\right)$ . (2) $\left( {3,2}\right)$ . 案不唯一)

2. $a =  - \frac{9}{4}$ .

3. (1) $x - {2y} + 1 = 0.\;$ (2) ${2x} - y - 1 = 0$ .

习题 1.2

A 组

1. $y - 5 = \frac{4}{3}\left( {x - 3}\right)$ .

2. $y =  - \frac{3}{4}x + 4$ 或 $y = \frac{3}{4}x + 4$ .

3. ( 1 ) ${l}_{1}$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ,在 $x$ 轴上的截距为 $- \sqrt{3} - 1$ ,在 $y$ 轴上的截距为 $- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(2) ${l}_{2}$ 的斜率为 -3,在 $x$ 轴上的截距为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ,在 $y$ 轴上的截距为 $\sqrt{3}$ .

4. (1) $\pi$ -arctan 5 . (2) $\frac{2}{5}$ .

5. $y - 1 = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}\left( {x + 2}\right)$ 或 $y - 1 = \frac{5 - \sqrt{33}}{4}\left( {x + 2}\right)$ .

6. (1) $\frac{y - 0}{7 - 0} = \frac{x - 2}{3 - 2}$ ,即 $\frac{y}{7} = x - 2$ . (2) $\frac{y - 0}{-1 - 0} = \frac{x - 3}{0 - 3}$ ,即 $y = \frac{x - 3}{3}$ .

7. (1) $x + {3y} + 3 = 0$ . (2) ${3x} - y - 1 = 0$ .

8. 证明略.

9. $y = \frac{3}{2}x + {14}$ ,弹簧自身长度为 ${14}\mathrm{\;{cm}}$ .

10.(1)斜率为 3,倾斜角为 $\arctan 3$ .

(2)斜率为 $- \frac{3}{2}$ ,倾斜角为 $\pi  - \arctan \frac{3}{2}$ .

11. (1) ${ab} \neq  0$ . (2) ${ac} > 0$ 且 ${bc} > 0$ (即 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 同号)

12. (1) $a = 1$ . (2) $a = \frac{4}{3}$ .

13. $6\left( {x - 1}\right)  - 5\left( {y - 1}\right)  = 0$ .

14. $k = 1$ 或 $- \frac{6}{5}$ .

### B 组

1. 边 ${AD}\text{、}{CD}$ 所在直线的方程分别为 ${2x} + y - 4 = 0, x - y + 4 = 0$ .

2. $x - y - 3 = 0$ .

3. (1) $\left\lbrack  {\frac{3}{4},6}\right\rbrack$ . (2) $\left\lbrack  {-2,4}\right\rbrack$ .

4. 边 ${BC}\text{、}{AC}$ 所在直线的方程分别为 ${11x} + {6y} - {26} = 0, x =  - 2$ .

5. ${2x} + {3y} - 1 = 0$ .

6. 如图 1-R2,以 $C$ 为坐标原点,以经过 $A\text{、}E$ 的直线为 $x$ 轴, $\overrightarrow{AE}$ 的方向为 $x$ 轴的正方向,过点 $C$ 且垂直于 ${AE}$ 的直线为 $y$ 轴,则 ${AB}\text{、}{BC}\text{、}{CD}\text{、}{DE}$ 所在直线的方程分别为 $y =  - \left( {2 + \sqrt{3}}\right) x - \sqrt{6} - \sqrt{2}, y = \left( {2 + \sqrt{3}}\right) x, y =  - (2 + \; \sqrt{3})x, y = \left( {2 + \sqrt{3}}\right) x - \sqrt{6} - \sqrt{2}$ . 本题答案不唯一,因为可以选择不同的坐标系, 从而会有不同的方程.

![bo_d402onjef24c73d2tg30_40_1077_1646_338_320_0.jpg](../images/bo_d402onjef24c73d2tg30_40_1077_1646_338_320_0.jpg)

图 1- R2

7. 证明略(面积为 $\frac{1}{8}$ ).

8. (1) $\left( {-\infty ,\frac{4}{3}}\right\rbrack   \cup  \left\lbrack  {\frac{5}{3}, + \infty }\right)$ . (2)证明略(过定点 $\left( {-5, - 2}\right) )$ .

如,(1) ${5x} - y + 5 = 0.\;$ (2) ${5x} - y + {10}\sqrt{2} = 0$ 或 ${5x} - y - {10}\sqrt{2} = 0$ .

10. 倾斜角为 $\theta  = \left\{  \begin{array}{ll} \arctan \left( {-\frac{a}{b}}\right) , & {ab} < 0, \\  \pi  - \arctan \frac{a}{b}, & {ab} > 0. \end{array}\right.$

11. $v\left( {x - {x}_{0}}\right)  - u\left( {y - {y}_{0}}\right)  = 0$ .

#### 1.3 两条直线的位置关系

练习 ${1.3}\left( 1\right)$

1. (1)相交于点 $\left( {-\frac{4}{3},\frac{1}{9}}\right)$ . (2)平行.

2. $a = 0$ 或 $a =  - 2$ .

3. ${2x} + y - {11} = 0$ .

练习 ${1.3}\left( 2\right)$

1. $a = \frac{1}{2}$ .

2. (1) $x =  - 1.\;$ (2) $x + y + 2 = 0.$

(3) $x - {2y} - 1 = 0$ . (4) $x\sin \theta  - y\cos \theta  + \sin \theta  - \cos \theta  = 0$ .

练习 ${1.3}\left( 3\right)$

1. (1) $\arccos \frac{\sqrt{170}}{170}$ . (2) $\arccos \frac{7\sqrt{65}}{65}$ .

2. $k = 2 - \sqrt{3}$ 或 $k =  - 2 - \sqrt{3}$ .

3. $\left( {2 + \sqrt{3}}\right) x - y - {11} - 4\sqrt{3} = 0$ 或 $\left( {2 - \sqrt{3}}\right) x - y - {11} + 4\sqrt{3} = 0$ .

习题 1.3

A 组

1.(1)重合. (2)相交. (3)相交.

2.(1)t ≠ 8 且 $t \neq   - 5$ . (2) $t =  - 5$ . (3) $t = 8$

3. $t = 2$ 或 $t =  - 1$ .

4. $a =  - 2$ .

5. 证明略.

6. $k = 1$ 或 $k = 4$ .

7. (1) ${3x} - {2y} - 1 = 0$ .

8. $x - {2y} - 6 = 0,{2x} + y - 7 = 0$ .

9. (1) $\frac{\pi }{4}$ . (2) $\arccos \frac{\sqrt{10}}{10}$ . (3) $\arccos \frac{2\sqrt{13}}{13}$ .

10. $m = 0$ .

11. 直角边 ${AC}$ 所在直线的方程为 ${2x} + y - 6 = 0$ ; 斜边 ${AB}$ 所在直线的方程为 ${3x} - y + 6 = 0$ 或 $x + {3y} - {18} = 0.$

### B 组

1. $b = \sqrt{3}$ 或 $b =  - \sqrt{3}$ .

2. 证明略,所有这些直线的公共点是 $\left( {\frac{2}{3},\frac{8}{3}}\right)$ .

3. $a = 1$ .

4. 与直线 $x + {4y} - 7 = 0$ 垂直、平行的直线的方程分别为 ${4x} - y - 5 = 0, x + {4y} + \; 3 = 0$ .

5. 边 ${AC}\text{、}{AB}\text{、}{BC}$ 所在直线的方程分别为 ${2x} + {7y} + {22} = 0,{7x} + {2y} - {13} = 0$ , $x - y + 2 = 0.$

6. ${3x} + y - 5 = 0$ .

7. ${7x} - {2y} - {11} = 0$ .

#### 1.4 点到直线的距离

练习 1.4

1. (1) $d = 5$ . (2) $d = 4$ . (3) $d = 3\sqrt{2}$ . (4) $d = \sqrt{10}$ .

2. $\frac{8}{5}$ .

习题 1.4

A 组

1. (1) $\sqrt{13}$ . (2) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ .

2. $a = \frac{8}{3}$ 或 $a = {16}$ .

3. (1) $\frac{\sqrt{13}}{26}$ . (2) $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

4. $a = 3$ 或 $a =  - 4$ .

B 组

1. $y + 2 = 0$ 或 ${24x} - {7y} - {74} = 0$ 或 ${4x} + {3y} + 6 = 0$ 或 ${4x} + {3y} - {14} = 0$ .

2. 3 .

3. $y =  - \left( {2 + \sqrt{3}}\right) x + 3 + \sqrt{3}$ 或 $y = \left( {2 - \sqrt{3}}\right) x - 1 + \sqrt{3}$ .

复习题

A 组

1. $\arctan \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

2. $a = 0$ 或 $a =  - \frac{3}{2}$ .

3. $x + y - 7 = 0$ .

4. $a = 0$ 或 $a =  - \frac{4}{3}$ .

5. $\left\lbrack  {\frac{5\pi }{6},\pi }\right)$ .

6. $x + y - 1 = 0$ 或 ${2x} + {3y} = 0$ .

7. $a = 0$ .

8. (1) $\left( {-\frac{3}{4},\frac{7}{4}}\right)$ . (2)边 ${BC}$ 、 ${DC}$ 所在直线的方程分别为 ${3x} - y - 6 = 0$ , $x + y - 6 = 0.$

9. (1) $m \neq  3$ 且 $m \neq   - 1$ . (2) $m = \frac{1}{2}$ . (3) $m =  - 1$ . (4) $m = 3$ .

10. $x + y + 7 = 0$ 或 $x + y - 7 = 0$ 或 $x - y + 7 = 0$ 或 $x - y - 7 = 0$ .

11. ${2x} + {3y} + 7 = 0$ .

12. ${4x} - {3y} + 6 = 0$ 或 ${4x} - {3y} - 4 = 0$ .

13. (1) $\left\{  \begin{array}{l} a = 2, \\  b =  - 2 \end{array}\right.$ 或 $\left\{  \begin{array}{l} a =  - 2, \\  b =  - 6. \end{array}\right.$ (2) $a = \frac{3}{2}, b = 3$ .

B 组

1. $\left( {-\infty , - \frac{7}{2}}\right\rbrack   \cup  \lbrack 1, + \infty )$ .

2. $\left( {\frac{\sqrt{3}}{3},1}\right)  \cup  \left( {1,\sqrt{3}}\right)$ .

3. ${2x} - {3y} = 0$ .

4. ${9x} - {46y} + {102} = 0$ .

5. 3.

6. $d$ 的最大值为 $\sqrt{26},{l}_{1}\text{、}{l}_{2}$ 的方程分别为 $x - {5y} - 1 = 0, x - {5y} + {25} = 0$ .

7. (1) $x + {2y} - 4 = 0$ . (2) $x + y - 3 = 0$ ,最小值为 4 .

### 拓展与思考

1. 图形略, 面积为 2.

2. 证明略.

3. $m \in  \left\{  {4,\frac{2}{3}, - 1, - \frac{1}{6}}\right\}$ .

4. $\sqrt{5}$ .

#### 四、相关阅读材料

### 参考文献

[1] 刘连璞. 平面解析几何方法与研究第 1 卷[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2015.

[2] 刘连璞. 平面解析几何方法与研究第 2 卷[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2015.

[3] 刘连璞. 平面解析几何方法与研究第 3 卷[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2015.

[4] 赵生初. 向量观念下的直线方程与立体几何[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2020.

[5] 汪晓勤,韩祥临. 中学数学中的数学史[M]. 北京:科学出版社,2002.

[6] 斯科特. 数学史[M]. 侯德润, 张兰, 译. 桂林: 广西师范大学出版社,2002.

[7] 李文林. 数学史概论(第二版)[M]. 北京:高等教育出版社,2002.